愛因斯坦證明0.999999....=1

芝

究竟0.99999=1? 終於有答案啦!!
回到最原始的題目來看; 0.99.. = 1 的問題,僅討論數列收斂性.
  為了證得 0.99.. = 1, 我們考慮到幾何級數的問題.
  而幾何級數的一般項為 n        1-r^n
                                 Σr^k = -------
                               k=0       1 - r .
  而此公式來由僅僅靠代數四則運算.(即用不到實數的完備性)
  即:為了證得 0.99.. = 1, 根據數列收斂的定義;
  我們只要確定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1.
  現在問題在於如何能確定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1.
  根據數列收斂定義而言:給定一個 ε,存在一個 N 使得 n ≧ N => ∣r^n∣ < ε.
  換言之;考慮 ∣ r ∣ < ε^(1/n) for all n ≧ N.
  我們現在只要能夠做到 ε^(1/n) -> 1  as n -> ∞ 即可.
  而這個問題等價於 : 給定任意正數 a, a^(1/n) -> 1 as n-> ∞
  不失一般性,令 a > 1. 則 a^n 可寫成 1 + h(n).即: a^(1/n) = 1+ h(n).
  (若 a = 1 自動成立. 若 0 1, 故也為顯然)
  我們想證: h(n) -> 0 as n->∞.
  再度利用四則運算得 a = ( 1+h(n) )^n > 1 + n*h(n).
  故 (a-1)/n > h(n) > 0. for all n in N.
  再度回到 0.999.. = 1 來看. 我們已經把問題簡化成 :
  只要能確定 1/n -> 0 as  n-> ∞.
  (因:夾擠定理只是數列收斂定義的直接應用的證明,不牽涉實數的完備性)
  根據數列收斂定義:給定一個 ε,存在一個 N 使得 n ≧ N => 1/n < ε.
  我終究得用阿基米德的性質而宣稱 1/n -> 0 as  n-> ∞.
  為了不牽涉實數的完備性,我決定引用-
  Peano axioms:正整數沒有上界.(因有後繼元素)
  也就是說;我現在希望我能用Peano axioms去證得 1/n -> 0 as  n-> ∞.
  現在證明: 利用正整數沒有上界之事實證得阿基米德原理.
  Pf:
  給定任兩個正實數 s 與 t,(不論 s 多大且不論 t 多小) 則必定存在一個 n, 使得
  s < nt.( 因若不然;則 N 將會有上界.故矛盾)
  於是;我利用了 Peano axioms 證得 阿基米德原理.
  再根據阿基米德原理去證得 1/n -> 0 as n->∞.
  再由此證得 r^n -> 0 as n->∞, where -1 < r < 1.
  再依此證得 0.99..= 1.
但不代表之前說『0.99..= 1』的人。

YBoy